Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，

3

2

）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k且不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，若直线OM、ON的斜率分别为k₁，k₂，且满足k²=k₁•k₂，求△OMN面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，

3

2

）两点，可得a=2，

1

a2

+

3

4b2

=1，解得即可；
（II）设直线l的方程为：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，△＞0，化为1+4k²＞m²．利用根与系数的关系可得y₁y₂=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，根据k²=k₁•k₂，可得k2=

y1

x1

•

y2

x2

，化为km（x₁+x₂）+m²=0，4k²=1，代入△＞0可得0＜m²＜2．设原点到直线l的距离为d=

|m|

1+k2

=

2|m|

5

．|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(2-m2)

，可得S_△OMN=

1

2

|MN|•d=

m2(2-m2)

，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，

3

2

）两点，
∴a=2，

1

a2

+

3

4b2

=1，解得a=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（II）设直线l的方程为：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）＞0，化为1+4k²＞m²．
∴x₁+x₂=

-8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
∵k²=k₁•k₂，
∴k2=

y1

x1

•

y2

x2

，
∴k²x₁x₂=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，化为km（x₁+x₂）+m²=0，
∴

-8k2m2

1+4k2

+m²=0，m≠0，
∴4k²=1，解得k=±

1

2

．由△＞0，可得0＜m²＜2．
设原点到直线l的距离为d=

|m|

1+k2

=

2|m|

5

．
|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 (8-4m2)

=

5(2-m2)

，
∴S_△OMN=

1

2

|MN|•d=

m2(2-m2)

≤

( m2+2-m2 2 )2

=1．当m²=1时取等号．
∴△OMN面积的取值范围是（0，1]．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．