Question

6．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）
• B． [kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）
• C． [kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）
• D． [kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]（k∈Z）

Answer 1

分析 由题意求得φ的值，利用正弦函数的性质，求得f（x）的单调递增区间．

解答 解：若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，
则f（$\frac{π}{6}$）为函数的函数的最大值或最小值，
即2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），sin（π+φ）=-sinφ＞sin（2π+φ）=sinφ，sinφ＜0．
令k=-1，此时φ=-$\frac{5π}{6}$，满足条件sinφ＜0，
令2x-$\frac{5π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
解得：x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．
则f（x）的单调递增区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．
故选C．

点评 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，属于基础题．