Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有a_n²=2S_n-a_n，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1_•λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

a

2 n

=2Sn-an，当n≥2时，

a

2 n-1

=2Sn-1-an-1，两式相减得

a

2 n

-

a

2 n-1

=an+an-1，由此能求出an=n(n∈N*)．
（Ⅱ）由已知得要使得b_n+1＞b_n恒成立，只须(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1，由此能推导出λ=-1对所有的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵n∈N^*时，

a

2 n

=2Sn-an，…①
当n≥2时，

a

2 n-1

=2Sn-1-an-1，…②…（2分）
由①-②得，

a

2 n

-

a

2 n-1

=(2Sn-an)-(2Sn-1-an-1)
即

a

2 n

-

a

2 n-1

=an+an-1，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2），…（4分）
由已知得，当n=1时，

a

2 1

=2

S

1

-

a

1

，∴a₁=1．…（5分）
故数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴an=n(n∈N*)．…（6分）
（Ⅱ）∵an=n(n∈N*)，
∴bn=3n+(-1)n-1λ•2n，…（7分）
∴bn+1-bn=3n+1-3n+(-1)nλ•2n+1-(-1)n-1λ•2n
=2×3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ．
要使得b_n+1＞b_n恒成立，
只须(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1．…（8分）
（1）当n为奇数时，即λ＜(

3

2

)n-1恒成立．
又(

3

2

)n-1的最小值为1，∴λ＜1．…（9分）
（2）当n为偶数时，即λ＞-(

3

2

)n-1恒成立．
又-(

3

2

)n-1的最大值为-

3

2

，∴λ＞-

3

2

…（10分）
∴由（1），（2）得-

3

2

＜λ＜1，又λ≠0且λ为整数，…（11分）
∴λ=-1对所有的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有bn+1＞bn成立，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．