题目内容

直线x+y=a与圆x2+y2=3交于A、B两点，O为原点，若
OA
•
OB
=2，求实数a的值．
考点：直线与圆的位置关系,平面向量数量积的运算
专题：计算题,直线与圆
分析：联立方程得到方程组，消元得到2x2-2ax+a2-3=0，由韦达定理得x1x2，y1y2再由
OA
•
OB
=2，代入可求解．
解答： 解：联立直线x+y=a与圆x2+y2=3，消掉y并整理得：2x2-2ax+a2-3=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得：
x1+x2=a，x1x2=
a2-3
2
，
∴y1y2=（a-x1）（a-x2）=a2-a（x1+x2）+x1x2
=a2-a2+x1x2=
a2-3
2

又
OA
•
OB
=2，∴x1x2+y1y2=2，代入解得a=±
5
．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，注意韦达定理及整体思想的运用，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
下列说法正确的是（　　）
A、向量
AB
与向量
CD
是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上
B、向量
AB
的长度与向量
BA
的长度相等
C、向量
a
与
b
平行，则
a
与
b
的方向相同或相反
D、单位向量都相等
已知3a2+2b2=5，则y=
2a2+1
•
b2+2
的最大值是（　　）
A、.
4
6
3
B、.
7
3
4
C、
4
3
3
D、
5
2
3
已知f（α）=
sin(5π-α)cos(
7
2
π-α)tan(-π+α)
-tan(-19π-α)sin(-α)
．
（1）化简f（α）；
（2）若α为第二象限角，sin（
π
3
+α）=
4
5
，求f（α）．
设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有an2=2Sn-an，其中Sn为数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=3n+（-1）n-1•λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．
已知函数f（x）=ex-ax-2x-1（x∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞
a2-a+1
a
．
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30]30.12
（30，35]50.20
（35，40]80.32
（40，45]n1f1
（45，50]n2f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）求在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率；
（3）求在该厂大量的工人中任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．
通过随机询问36名不同性别的大学生在购买食品时是否看营养说明，得到如下的列联表：
女男总计
看营养说明81422
不看营养说明10414
总计181836
利用列联表的独立性检验估计看营养说明是否与性别有关？
参考数据当Χ2≤2.706时，无充分证据判定变量A，B有关联，可以认为两变量无关联；
当Χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当Χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当Χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
（参考公式：Χ2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）
在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知c=2，C=
π
3
．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于
3
，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

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