题目内容
若函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，
（1）a=0时，若x∈[1，+∞）有f（x）-m≥0，求实数m的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
（1）a=0时，若x∈[1，+∞）有f（x）-m≥0，求实数m的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（1）化简，由基本初等函数的性质可得m的取值范围；（2）求导并讨论a的取值，从而确定单调性，（3）将问题化为导数最值问题，导数的最值借助基本不等式解答，从而证明不等式成立．
解答：
解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+1，
∵x∈[1，+∞），∴lnx+1≥1，
则由题意可知，m≤1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=
，
①当a≤-1时，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
②当-1＜a＜0时，x∈[
，+∞）时，f′（x）＜0，
f（x）在[
，+∞）上单调递减；
x∈（0，
]时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，
]上单调递增；
③当a≥0时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）证明：当a≤-2时，
f′（x）=
+2ax=-[（-
）+（-2ax）]≤-2
≤-4，
则|f′（x）|≥4，
则对任意x1，x2∈（0，+∞），
≥4，
即|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
∵x∈[1，+∞），∴lnx+1≥1，
则由题意可知，m≤1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=
| a(2x2+1)+1 |
| x |
①当a≤-1时，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
②当-1＜a＜0时，x∈[
| ||
| -2a |
f（x）在[
| ||
| -2a |
x∈（0，
| ||
| -2a |
f（x）在（0，
| ||
| -2a |
③当a≥0时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）证明：当a≤-2时，
f′（x）=
| a+1 |
| x |
| a+1 |
| x |
| 2a(a+1) |
则|f′（x）|≥4，
则对任意x1，x2∈（0，+∞），
| |f(x1)-f(x2)| |
| |x1-x2| |
即|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
点评：本题综合考查了导数的综合应用及数学中的转化的思想，同时考查了恒成立问题，属于难题．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
下列各函数中，最小值为2的是（ ）
A、y=x+
| ||||
B、y=sinx+
| ||||
C、y=
| ||||
D、y=2x+
|
如图，设椭圆C：