Question

14．已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有3个实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题转化为y=f（x）和y=k有3个交点，根据f（x）的极大值和极小值求出k的范围即可．

解答 解：（I）∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
令f′（x）=0，解得x=-1或x=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

当x=-1时，有极大值f（-1）=2；
当x=1时，有极小值f（1）=-2．
（II）要f（x）=k有3个实根，
由（I）知：f（1）＜k＜f（-1），
即-2＜k＜2，
∴k的取值范围是（-2，2）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．