Question

2．已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F₁F₂|=4，|AB|=4$\sqrt{2}$
（1）求椭圆的方程；
（2）过F₁的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF₂N的面积为$\frac{16}{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由|F₁F₂|=4，|AB|=4$\sqrt{2}$，建立方程组，求出a=2$\sqrt{2}$，c=2，b=2，由此能求出椭圆的方程．
（2）由F₁（-2，0），设过F₁的直线l的方程为：x+2=my，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-4my-4=0，利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，能求出m=±1，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，
左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F₁F₂|=4，|AB|=4$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{2a=4\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{2}$，c=2，b=2，
∴椭圆的方程为$：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由（1）知F₁（-2，0），设过F₁的直线l的方程为：x+2=my，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-4my-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4m}{{m}^{2}+2}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{4}{{m}^{2}+2}}\end{array}\right.$，
∵△MF₂N的面积为$\frac{16}{3}$，
∴${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=2$\sqrt{（\frac{4m}{{m}^{2}+2}）^{2}-4×（_\frac{4}{{m}^{2}+2}}）$=$\frac{16}{3}$，
化简，得2m⁴-m²-1=0，解得m²=1或m²=-$\frac{1}{2}$（舍），
解得m=±1，此时直线l的方程为x-y+2=0，或x+y+2=0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．