Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BC=2AD=4．AB=2BC=2CD=2$\sqrt{5}$，M为棱PC上一点．
（1）求证：平面BDM⊥平面PAD；
（2）当三棱锥P-ABD的体积是三棱锥M-PBD体积的3倍时，求$\frac{PM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥BD，由平面PAD⊥平面ABCD，得到BD⊥平面PAD，由此能证明平面MBD⊥平面PAD．
（2）三棱锥P-MBD的体积=$\frac{m}{m+1}×$三棱锥P-BCD的体积，V_P-ABD=2V_P-BCD，由三棱锥P-ABD的体积是三棱锥M-PBD体积的3倍，得到V_P-MBD=$\frac{2}{3}{V}_{P-BCD}$，由此能求出$\frac{PM}{MC}$的值．

解答 证明：（1）在△ABD中，∵AD=2，BD=4，AB=2$\sqrt{5}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，
∵BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．
解：（2）设$\frac{PM}{MC}$=m，则PM=mMC，
∴三棱锥P-MBD的体积=$\frac{m}{m+1}×$三棱锥P-BCD的体积，
∵AB=2DC=2$\sqrt{5}$，∴S_△ABD=2S_△BCD，
∴V_P-ABD=2V_P-BCD，
∵三棱锥P-ABD的体积是三棱锥M-PBD体积的3倍，
∴V_P-MBD=$\frac{2}{3}{V}_{P-BCD}$，
∴$\frac{m}{m+1}=\frac{2}{3}$，解得m=2．故$\frac{PM}{MC}$的值为2．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．