Question

10．已知幂函数f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=$\sqrt{f（x）}$+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用幂函数的奇偶性与单调性即可得出．
（2）由（1）知f（x）=x⁴，则g（x）=x²+2x+c=（x+1）²+（c-1）．由g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，可得：g（x）_min＞2，且x∈R，解出即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，
∴-m²+2m+3＞0，即m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3．
又m∈Z，∴m=0，1，2，
而m=0，2时，f（x）=x³不是偶函数，m=1时，f（x）=x⁴是偶函数．
∴f（x）=x⁴．
（2）由（1）知f（x）=x⁴，则g（x）=x²+2x+c=（x+1）²+（c-1）．
∵g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，
∴g（x）_min＞2，且x∈R，则c-1＞2，解得c＞3．
故实数c的取值范围是（3，+∞）．

点评 本题考查了幂函数的奇偶性与单调性、二次函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．