Question

9．如图，平面四边形ABCD中，AB=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{3}$，∠CBD=30°，∠BCD=120°，则△ADC的面积S为$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 在△BCD中由正弦定理解出BD，在△ABD中，由余弦定解出∠ADB的度数；代入三角形的面积公式计算．

解答 解：在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{BD}{sin∠BCD}$=$\frac{CD}{sin∠CBD}$，
即 $\frac{BD}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$，解得BD=3．
在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=$\frac{{AD}^{2}{+BD}^{2}{-AB}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴∠ADB=45°．
∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．
∴sin∠ADC=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AD•CDsin∠ADC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，
故答案为：$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．