Question

（本小题满分12分）
如图所示，在正方体中，E是棱的中点.

（Ⅰ）求直线BE与平面所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论.

Answer 1

解法1：设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）依题意，
得，
所以.
在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则
.
即直线BE和平面所成的角的正弦值为.

设F是棱上的点，则.又，所以
.而，于是
为的中点，这说明在棱上存在点F(的中点)，使.
解法2：（Ⅰ）如图（a）所示，取的中点M，连结EM,BM.因为E是的中点，四边形为正方形，所以EM∥AD.

即直线BE和平面所成的角的正弦值为.

（Ⅱ）在棱上存在点F，使.
事实上，如图（b）所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因,且,所以四边形是平行四边形，因此.又E,G分别为，CD的中点，所以，从而.这说明，B，G，E共面，所以.
因四边形与皆为正方形，F，G分别为和CD的中点，所以
，且，因此四边形是平行四边形，所以.而，，故.

略