Question

1．如图，圆O₁与圆O₂内切于点A，其半径分别为3与2，圆O₁的弦AB交圆O₂于点C（O₁不在AB上），AD是圆O₁的一条直径．
（1）求$\frac{AC}{AB}$的值；
（2）若BC=$\sqrt{3}$，求O₂到弦AB的距离．

Answer 1

分析 （1）设AD交圆O₂于点E，连接BD，CE，推导出$∠ABD=∠ACE=\frac{π}{2}$，从而BD∥CE，由此能求出$\frac{AC}{AB}$的值．
（2）推导出AB=3$\sqrt{3}$，∠A=30°，由AO₂=2，能求出O₂到弦AB的距离．

解答 解：（1）设AD交圆O₂于点E，连接BD，CE，
∵圆O₁与圆O₂内切于点A，∴点O₂在AD上．
∴AD，AE分别是，圆O₁与圆O₂的直径．
∴$∠ABD=∠ACE=\frac{π}{2}$．∴BD∥CE．
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$=$\frac{2}{3}$．…（6分）
（2）若BC=$\sqrt{3}$，由（1）知AB=3$\sqrt{3}$，
∵AD=6，∴在Rt△ABD中，∠A=30°，又由AO₂=2，
∴O₂到弦AB的距离为1．…（10分）

点评 本题考查两线段比值的求法，考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．