Question

4．直线ax+by+1=0与圆x²+y²=1相切，则a+b+ab的最大值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 由直线与圆相切，列出a，b的关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．

解答 解：∵直线ax+by=1与圆x²+y²=1相切，
∴圆心O（0，0）到直线ax+by-1=0的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
即a²+b²=1，则设a=sinα，b=cosα，
a+b+ab=sinα+cosα+sinαcosα=$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$sin2α，当$α=\frac{π}{4}$时，两个表达式同时取得最大值，
所以a+b+ab的最大值为：$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．