已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1经过点.离心率e=$\frac{1}{2}$．(Ⅰ)求椭圆C的方程及焦距．(Ⅱ)椭圆C的左焦点为F1.右顶点为A.经过点A的直线l与椭圆C的另一交点为P．若点B是直线x=2上异于点A的一个动点.且直线BF1⊥l.问:直线BP是否经过定点?若是.求出该定点的坐标,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，$\sqrt{3}$），离心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦距．
（Ⅱ）椭圆C的左焦点为F₁，右顶点为A，经过点A的直线l与椭圆C的另一交点为P．若点B是直线x=2上异于点A的一个动点，且直线BF₁⊥l，问：直线BP是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

分析（I）由题意可得：b=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．联立解得：a，c．即可得出椭圆C的方程及其焦距．
（II）设PA的方程为：my=x-2．（m≠0）．与椭圆方程联立化为：（3m²+4）y²+12my=0，
解得P$（\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}，\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}）$．设B（2，t），根据$\frac{t}{3}×（\frac{1}{m}）$=-1，解得t=-3m．可得直线BP的方程为：y+3m=k_BP（x-2），可得直线BP经过定点（-2，0）．

解答解：（I）由题意可得：b=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．
联立解得：a=2，c=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，焦距为2．
（II）设PA的方程为：my=x-2．（m≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3m²+4）y²+12my=0，
解得y_P=$\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}$，∴x_P=$\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$．
∴P$（\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}，\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}）$．
设B（2，t），则$\frac{t}{3}×（\frac{1}{m}）$=-1，解得t=-3m．
∴直线BP的方程为：y+3m=$\frac{-3m+\frac{12m}{3{m}^{2}+4}}{2-\frac{8-6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}}$（x-2），
化为：4y+m（6+3x）=0，令6+3x=0，4y=0，
解得x=-2，y=0．
∴直线BP经过定点（-2，0）．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

P（K²≥k₂）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

	数学尖子生	数学尖子生	合计
男生
女生
合计			100

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