题目内容
设F为圆锥曲线的焦点，P是圆锥曲线上任意一点，则定义PF为圆锥曲线的焦半径．下列几个命题
①平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
②平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线
③平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线
④以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切
⑤以抛物线的焦半径为直径的圆和y轴相切
⑥以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切
其中正确命题的序号是 ．
①平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
②平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线
③平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线
④以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切
⑤以抛物线的焦半径为直径的圆和y轴相切
⑥以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切
其中正确命题的序号是
考点：圆锥曲线的实际背景及作用
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用椭圆，双曲线、抛物线的定义，即可得出结论．
解答：
解：①平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆，如果距离之和对于零点的距离，轨迹表示的是线段，不表示椭圆，所以①不正确；
②平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，这个常数必须小于两点的距离，此时是双曲线，否则不正确，所以②不正确；
③当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以③错误；
④设椭圆的方程为
+
=1（a＞b＞0），F、F'分别是椭圆的左右焦点，
作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2+y2=a2，如图所示．
设PF中点为M，连结PF′，
∴OM是△PFF′的中位线，可得|OM|=|PF′|，即两圆的圆心距为
|PF′|
根据椭圆定义，可得|PF|+|PF′|=2a，
∴圆心距|OM|=
|PF′|=
（2a-|PF|）=a-
|PF|，
即两圆的圆心距等于它们半径之差，
因此，以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆x2+y2=a2相内切．即④正确；
⑤抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（
，0），设点P点坐标为（x1，y1），
则以PF为直径的圆的圆心是（
，
），
根据抛物线的定义|PF|与P到直线x=-
是等距离的，
所以PF为直径的圆的半径为
，因此以PF为直径的圆与y轴的位置关系相切，即⑤正确；
⑥设以实轴|F1F2|为直径的圆的圆心为O1，其半径r1=a，
线段PF2为直径的圆的圆心为O2，其半径为r2=
，
当P在双曲线左支上时，|O1O2|=
，
∵|O1O2|-r2=
-
=a=r1，∴两圆内切．
当P在双曲线右支上时，|O1O2|=
，
∵|O1O2|-r2=
-
=a=r1，∴r1+r2=|O1O2|
∴两圆外切．故⑥正确
故答案为：④⑤⑥．
②平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，这个常数必须小于两点的距离，此时是双曲线，否则不正确，所以②不正确；
③当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以③错误；
④设椭圆的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2+y2=a2，如图所示．
设PF中点为M，连结PF′，
∴OM是△PFF′的中位线，可得|OM|=|PF′|，即两圆的圆心距为
| 1 |
| 2 |
根据椭圆定义，可得|PF|+|PF′|=2a，
∴圆心距|OM|=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即两圆的圆心距等于它们半径之差，
因此，以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆x2+y2=a2相内切．即④正确；
⑤抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（
| p |
| 2 |
则以PF为直径的圆的圆心是（
| 2x1+p |
| 4 |
| y1 |
| 2 |
根据抛物线的定义|PF|与P到直线x=-
| p |
| 2 |
所以PF为直径的圆的半径为
| 2x1+p |
| 4 |
⑥设以实轴|F1F2|为直径的圆的圆心为O1，其半径r1=a，
线段PF2为直径的圆的圆心为O2，其半径为r2=
| |PF2| |
| 2 |
当P在双曲线左支上时，|O1O2|=
| |PF1| |
| 2 |
∵|O1O2|-r2=
| |PF2| |
| 2 |
| |PF1| |
| 2 |
当P在双曲线右支上时，|O1O2|=
| |PF1| |
| 2 |
∵|O1O2|-r2=
| |PF1| |
| 2 |
| |PF2| |
| 2 |
∴两圆外切．故⑥正确
故答案为：④⑤⑥．
点评：本题考查命题的真假的判断与应用，圆锥曲线的定义的应用，基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
设复数z=
，则z=（ ）
| 2-i |
| 1+i |
A、
| ||||
B、
| ||||
| C、1-3i | ||||
| D、1+3i |
已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个结论中正确的个数为（ ）
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；
②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n．
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；
②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n．
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
在△ABC中，若S△ABC=
（a2+b2-c2），那么C等于（ ）
| 1 |
| 4 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
若函数f（x）=x2+bx+1在区间（0，1）和（1，2）上各有一个零点，则b的取值范围是（ ）
| A、（-∞，-2） | ||
B、（-
| ||
C、（-
| ||
D、（-∞，-
|