Question

已知点A（-4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2，点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ） 求曲线C 的轨迹方程；
（Ⅱ） Q为直线y=-1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设M（x，y），由题意可得：

y-4

x+4

-

y-4

x-4

=-2，化简可得曲线C 的轨迹方程为x²=4y且（x≠±4）．
（II）设Q（m，-1），切线方程为y+1=k（x-m），与抛物线方程联立化为x²-4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k²-km-1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k²），由k²-km-1=0．可得k₁+k₂=m，k₁•k₂=-1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，S=

1

2

|QD|•|QE|．令切点（2k，k²）到Q的距离为d，则d²=（2k-m）²+（k²+1）²=（4+m²）（k²+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=

(4+m2)( k 2 1 +1)

，|QE|=

(4+m2)( k 2 2 +1)

，代入即可得出．

解答： 解：（I）设M（x，y），由题意可得：

y-4

x+4

-

y-4

x-4

=-2，
化为x²=4y．
∴曲线C 的轨迹方程为x²=4y且（x≠±4）．
（II）设Q（m，-1），切线方程为y+1=k（x-m），
联立

y+1=k(x-m) x2=4y

，化为x²-4kx+4（km+1）=0，
由于直线与抛物线相切可得△=0，即k²-km-1=0．
∴x²-4kx+4k²=0，解得x=2k．可得切点（2k，k²），
由k²-km-1=0．∴k₁+k₂=m，k₁•k₂=-1．
∴切线QD⊥QE．
∴△QDE为直角三角形，S=

1

2

|QD|•|QE|．
令切点（2k，k²）到Q的距离为d，
则d²=（2k-m）²+（k²+1）²=4（k²-km）+m²+（km+2）²=4（k²-km）+m²+k²m²+4km+4=（4+m²）（k²+1），
∴|QD|=

(4+m2)( k 2 1 +1)

，
|QE|=

(4+m2)( k 2 2 +1)

，
∴S=

1

2

（4+m²）

(k1+k2)2-2k1k2+2

=

1

2

(4+m2)

4+m2

≥4，
当m=0时，即Q（0，-1）时，△QDE的面积S取得最小值4．

点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．