Question

20．已知集合A={x|x²-2x-a²-2a＜0}，B={y|y=3^x-2a，x＜2}．
（1）若a=3，求A∪B；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=3，求出A，B，即可求A∪B；
（2）若A∩B=A，A⊆B，分类讨论求实数a的取值范围．

解答 解：（1）将a=3代入A中不等式，得x²-2x-15＜0，
解得-3＜x＜5，即A=（-3，5）．
将a=3代入B中等式，得y=3^x-6，
∵x≤2，∴0＜3^x≤9，即-6＜3^x-6≤3，
∴B=（-6，3]，A∪B=（-6，5）．
（2）∵A∩B=A，∴A⊆B，
由B中y的范围为-2a＜y≤9-2a，即B=（-2a，9-2a）．
由A看不等式变形，得x²-2x+1-a²-2a-1＜0，
即（x-1）²-（a+1）²＜0，整理得（x+a）（x-a-2）＜0．
∵A∩B=A，∴A⊆B，
当a=-1时，A=∅，满足题意；
当a+2＞-a，即a＞-1时，A=（-a，a+2）．
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}-2a≤-a\\ 9-2a≥a+2\end{array}\right.$
解得$0≤a≤\frac{7}{3}$； 当a+2＜-a，即a＞-1时，A=（a+2，-a）．∴A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2a≤a+2\\-a≤9-2a\end{array}\right.$解得$-\frac{2}{3}≤a≤9$（舍去）．
综上a=-1或$0≤a≤\frac{7}{3}$．

点评 本题考查集合的运算与关系，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．