Question

已知

a

=（cos x，sin x），

b

=（1，x），函数f（x）=

a

•

b

，其中x＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈（0，11π]时，求f（x）所有极值的和．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）由f（x）=cosx+xsinx，x＞0，知f′（x）=xcosx，由此能求出函数f（x）的单调递增区间；
（II）x=

π

2

+kπ（k∈N）是函数的极值点，由此能求出x∈（0，11π]时，f（x）所有极值的和．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=cosx+xsinx，
∴f′（x）=xcosx，
由x＞0，f′（x）＞0，可得x∈（0，

π

2

）∪（

3

2

π+2kπ，

5

2

π+2kπ）（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为（0，

π

2

），（

3

2

π+2kπ，

5

2

π+2kπ）（k∈Z）；
（Ⅱ）x＞0，由f′（x）=0，得cosx=0，即x=

π

2

+kπ（k∈N），
∵f′（x）在x=

π

2

+kπ（k∈N）两侧异号，
∴x=

π

2

+kπ（k∈N）是函数的极值点，
∴x∈（0，11π]时，f（x）所有极值的和为

π

2

-

3π

2

+

5π

2

-…+

21π

2

=

11π

2

．

点评：本题考查函数的单调性和极值和的求法，考查等价转化能力，考查分类讨论能力，考查计算求解能力．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．