Question

如图所示，在直角梯形PBCD中，PD∥BC，∠D=90°，PD=9，BC=3，CD=4，点A在PD上，且PA=2AD，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC．
（Ⅰ）求证：SA⊥AD；
（Ⅱ）点E在SD上，且SE=

1

3

SD，求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由平面几何的知识，证得四边形ABCD为矩形，再由线面垂直的判定定理证得BC⊥平面SAB，从而证得
SA⊥AD；
（Ⅱ）在平面SAD内，过E作EH⊥AD，垂足为H，通过线面垂直的判定定理，证EH⊥平面ABD，并求出EH的长，再由三棱锥的体积公式即可得到结果．

解答： （ I）证明：∵PD=9，PA=2AD，
∴PA=6，AD=3，
又∵BC=3，AD∥BC，∠D=90°，
∴四边形ABCD为矩形，AB⊥BC，
又∵SB⊥BC，AB∩SB=B，∴BC⊥平面SAB，
从而BC⊥SA，又∵BC∥AD，
∴SA⊥AD；              
（Ⅱ）解：在平面SAD内，过E作EH⊥AD，垂足为H，
∵SA⊥AD，EH⊥AD，∴EH∥SA，
又∵SA⊥AB，∴EH⊥AB，而AB∩AD=A，∴EH⊥平面ABD，
即EH是三棱锥E-ACD底面ACD的高，
由EH∥SA，知

EH

SA

=

ED

SD

，又SE=

1

3

SD，∴

EH

SA

=

ED

SD

=

2

3

，
∴EH=

2

3

SA=4，
故V_E-ACD=

1

3

×

1

2

AD•CD•EH=

1

6

×3×4×4=8．

点评：本题考查直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质，同时考查棱锥的体积公式，属于中档题．