Question

用符号[x）表示超过x的最小整数，如[π）=4，[-1.5）=-1，记{x}=[x）-x．
（1）若x∈（1，2），则不等式{x}•[x）＜x的解集为

 

；
（2）若x∈（1，3），则方程cos²[x）+sin²{x}-1=0的实数解为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,新定义

分析：（1）依题意可知，当x∈（1，2）时，[x）=2，{x}=2-x，原不等式可化为2（2-x）＜x，从而可求得其解集；
（2）对x分x∈（1，2）与x∈[2，3）讨论，利用同角三角函数间的关系与二倍角公式，解对应的方程，利用余弦函数的单调性即可求得答案．

解答： 解：（1）∵x∈（1，2），
∴[x）=2，{x}=2-x，
∴不等式{x}•[x）＜x?（2-x）×2＜x，
解得：x＞

4

3

，又1＜x＜2，
∴

4

3

＜x＜2，
∴不等式{x}•[x）＜x的解集为{x|

4

3

＜x＜2}．
（2）∵x∈（1，3），
∴当x∈（1，2）时，[x）=2，{x}=2-x，
∴方程cos²[x）+sin²{x}-1=0?cos²2+sin²（2-x）-1=0，
∴sin²（2-x）=1-cos²2=sin²2，即

1-cos(4-2x)

2

=

1-cos4

2

，
∴cos（4-2x）=cos4=cos（2π-4），
∵x∈（1，2），
∴4-2x∈（0，2），又2π-4∈（2，3），
∴4-x≠2π-4，
∴此时方程无解；
当x∈[2，3）时，[x）=3，{x}=3-x，
∴方程cos²[x）+sin²{x}-1=0?cos²3+sin²（3-x）-1=0，
同理可得，cos（6-2x）=cos6=cos（2π-6），
∵当x∈[2，3）时，6-2x∈（0，2]，2π-6∈（0，2），
∴6-2x=2π-6，
解得x=6-π．
∴当x∈（1，3）时，方程cos²[x）+sin²{x}-1=0的实数解为6-π．
故答案为：（1）{x|

4

3

＜x＜2}；（2）6-π．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查新定义中不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．