Question

若A，B，C为△ABC的三个内角，则

9

A

+

1

B+C

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：利用三角形的内角和定理可得

9

A

+

1

B+C

=

9

A

+

1

π-A

．令f（x）=

9

x

+

1

π-x

，（x∈（0，π））．利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：

9

A

+

1

B+C

=

9

A

+

1

π-A

．
令f（x）=

9

x

+

1

π-x

，（x∈（0，π））．
f′（x）=-

9

x2

+

1

(π-x)2

=

(3π-2x)(4x-3π)

(πx-x2)2

，
令f′（x）＞0，解得

3π

4

＜x＜π；令f′（x）＜0，解得0＜x＜

3π

4

．
当且仅当x=

3π

4

时，函数f（x）取得最小值，f(

3π

4

)=

12

π

+

4

π

=

16

π

．
故答案为：

16

π

．

点评：本题考查了三角形的内角和定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题．