Question

已知奇函数y=f（x），在（0，+∞）上满足2f（x+1）=f（x），且当0＜x＜1时，f（x）=3^x，则不等式f（x）≥x的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数的图象,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：在（0，+∞）上满足2f（x+1）=f（x），故f(x)=

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f(x-1)，由此推出f（0）=f（1）=f（2）=0，同理f（3）=0等等，
当1＜x＜2时，易推f（x）=

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×3^x-1，以此类推，可得x在（0，+∞）上的其它区间上的函数表达式，
在直角坐标系内画出函数在（0，+∞）上的图象，再根据函数为奇函数，图象关于原点对称，画出函数在（0，+∞）上的图象，结合图象得出不等式的解．

解答： 解：在（0，+∞）上满足2f（x+1）=f（x），∴f(x)=

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f(x-1)，
∵f（x）为奇函数，f（0）=0，∴f（1）=

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f（0）=0，f（2）=

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f（1）=0，同理f（3）=0等等，
而当1＜x＜2时，f（x）=

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f（x-1），而0＜x-1＜1，
∵当0＜x＜1时，f（x）=3^x，∴f（x）=

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f（x-1）=

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×3^x-1，
∴当1＜x＜2时，f（x）=

1

2

×3^x-1，以此类推，可得x在（0，+∞）上的其它区间上的函数表达式，
在直角坐标系内画出函数在（0，+∞）上的图象，再根据函数为奇函数，图象关于原点对称，画出函数在（0，+∞）上的图象，如下图：

从图象知：
要使不等式f（x）≥x成立，x应满足：x∈（-∞，-1]∪[0，1），
故答案为：（-∞，-1]∪[0，1）

点评：本题主要考查函数的性质，由函数的奇偶性得出整个图象，数形结合得出自变量的范围，要注意函数在端点处的函数值．