题目内容

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，cosB=$\frac{1}{3}$．
（1）若b=2$\sqrt{2}$，求sinA的值；
（2）若点D在边AC上，且$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求a的值．

分析 （1）由cosB=$\frac{1}{3}$，b=2$\sqrt{2}$，得sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由正弦定理得sinC=$\frac{2}{3}$，从而cosC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由此能求出sinA．
（2）求出$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，由此能求出a的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
c=2，cosB=$\frac{1}{3}$，b=2$\sqrt{2}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
正弦定理得$\frac{c}{sinC}=\frac{2}{sinC}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=3，∴sinC=$\frac{2}{3}$，
∵c＜b，∴C为锐角，∴cosC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{1}{3}•\frac{2}{3}$=$\frac{2+2\sqrt{10}}{9}$．
（2）∵点D在边AC上，且$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴|$\overrightarrow{BD}$|2=$\frac{1}{9}{\overrightarrow{BA}}^{2}+\frac{4}{9}{\overrightarrow{BC}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{9}{c}^{2}+\frac{4}{9}{a}^{2}+\frac{4}{9}accosB$
=$\frac{4}{9}+\frac{4}{9}{a}^{2}+\frac{8}{27}a$，
解得a=3．

点评 本题考查角的正弦值的求法，考查实数值的求法，考查同角三角函数、正弦定理、向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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