Question

设函数f（x）=lg（-x²+5x-6）的定义域为A，函数g（x）=

5

x+2

，x∈（0，m）的值域为B．
（Ⅰ）当m=2时，求A∩B；
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,交集及其运算

专题：集合

分析：（Ⅰ）当m=2时，求出集合A，B，即可求A∩B；
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，建立集合关系即可求实数m的取值范围

解答： 解：（Ⅰ）由-x²+5x-6＞0，即x²-5x+6＜0，解得2＜x＜3，即A=（2，3），
当m=2时，g（x）=

5

x+2

，x∈（0，2）上为减函数，
∴

5

4

＜g（x）＜

5

2

，即B=（

5

4

，

5

2

），
则A∩B=（2，

5

2

）；
（Ⅱ）∵g（x）=

5

x+2

，x∈（0，m）上为减函数，
∴

5

2+m

＜g（x）＜

5

2

，即B=（

5

2+m

，

5

2

）
若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则B?A，
即

m＞0 5 2+m ≥2

，则

m＞0 m≤ 1 2

，
即0＜m≤

1

2

，
故实数m的取值范围是（0，

1

2

]．

点评：本题主要考查函数的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，根据条件求出函数的定义域和值域是解决本题的关键．