Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

5

，一条渐近线的倾斜角为α，m=|tanα|，当

b2+m

a

取得最小值时，双曲线的焦距为（　　）

• A、

  2

• B、

  2

  2

• C、

  10

• D、

  10

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

5

，可得

b

a

=2，进而

b2+m

a

=4a+

2

a

≥2

4a• 2 a

=4

2

，即可得出结论．

解答： 解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

5

，
∴1+(

b

a

)2=5，
∴

b

a

=2，
∵一条渐近线的倾斜角为α，m=|tanα|，
∴m=2，
∴

b2+m

a

=4a+

2

a

≥2

4a• 2 a

=4

2

，
当且仅当4a=

2

a

，即a=

2

2

时，

b2+m

a

取得最小值，
∴c=

10

2

，
∴2c=

10

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．