Question

已知定义在R上的偶函数y=f（x），且x≥0时，f（x）=2^x-1
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，m]（m＞-1）时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求x＜0时的f（x）解析式，所以设x＜0，-x＞0，从而可求出f（x）=f（-x）=2^-x-1；
（2）根据f（x）的单调性，分m≤0，0＜m≤1，m＞1这几种情况讨论m的取值，然后根据f（x）的单调性及最值情况即可求得f（x）在[-1，m]上的值域．

解答： 解：（1）设x＜0，-x＞0；
∴f（x）=f（-x）=2^-x-1；
即x＜0时，f（x）=2^-x-1；
（2）容易判断x≥0时，f（x）=2^x-1是增函数；
x＜0时，f（x）=2^-x-1是减函数；
∴①若m≤0，f（x）的值域为[f（-1），f（m）]=[1，2^-m-1]；
②若0＜m≤1，则2^m-1≤1，∴此时f（x）的值域为[f（0），f（-1）]=[

1

2

，1]；
③若m＞1，则2^m-1＞1，∴此时f（x）的值域为[f（0），f（m）]=[

1

2

，2m-1]．

点评：考查求偶函数在对称区间上的解析式的方法与过程，根据分段函数的单调性及单调区间，讨论参数m的取值范围，从而求函数的值域．