Question

已知函数，（为常数）．
（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；
（2）若，，、使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（3）当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数、，都有
成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）或；（2）；（3）.

试题分析：（1）利用导数求出函数在点的切线方程，并将切线方程与函数的方程联立，利用求出的值；（2）将题中问题转化为从而确定最大整数的值；（3）假设，考查函数和的单调性，从而将，得到，于是得到，然后构造函数
，转化为函数在区间为单调递增函数，于是得到在区间上恒成立，利用参变量分离法求出的取值范围.
（1），，，
函数的图象在点处的切线方程为，
直线与函数的图象相切，由，消去得，
则，解得或；
（2）当时，，
，
当时，，在上单调递减，
，，
则，
，故满足条件的最大整数；
（3）不妨设，函数在区间上是增函数，，
函数图象的对称轴为，且，函数在区间上是减函数，
，
等价于，
即，
等价于在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
，又，.