Question

（13分）（2011•重庆）设f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e^﹣x．求函数g（x）的极值．

Answer 1

（Ⅰ）6x+2y﹣1=0（Ⅱ）g（x）=（3x²﹣3x﹣3）e^﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e^﹣3

试题分析：（I）根据已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（II）根据g（x）=f′（x）e^﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．
解：（I）∵f（x）=x³+ax²+bx+1∴f'（x）=3x²+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3
令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x^3﹣x²﹣3x+1
∴f（1）=﹣，
又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，
故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．
（II）由（I）知g（x）=（3x²﹣3x﹣3）e^﹣x
从而有g'（x）=（﹣3x²+9x）e^﹣x
令g'（x）=0，则x=0或x=3
∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，
当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，
当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，
∴g（x）=（3x²﹣3x﹣3）e^﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e^﹣3
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．