Question

一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为60°的扇形，求：
（1）圆锥的全面积和体积；
（2）一质点从圆锥底面圆一点A出发，绕圆锥侧面运动在回到A点所经过的最近距离．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积,多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，设圆锥的底面半径为R，然后，根据侧面展开图的弧长和圆锥的底面周长相等，建立等式，求解R=

1

3

，从而确定其表面积和体积；
（2）直接根据侧面展开图进行处理即可．

解答： 解：（1）设圆锥的底面半径为R，
则2πR=

π

3

×2，
∴R=

1

3

，
∴πR²+πR×2=

7π

9

，
V=

1

3

πR2

22-R2

=

1

3

π×

1

9

×

35

3

=

35 π

81

，
（2）根据余弦定理，
∵三角形OAB中，∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=2．

点评：本题重点考查了圆锥的结构特征、圆锥的构成、圆锥的表面积公式和体积公式等知识，属于中档题．