Question

4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P=A₁C₁，连结AP交棱CC₁于点D．求：
（1）直线PB₁与A₁B所成角的余弦值；
（2）二面角A-A₁D-B的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A₁为原点，A₁B₁为x轴，A₁C₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB₁与A₁B所成角的余弦值．
（2）求出平面A₁DB的法向量和平面AA₁D的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁D-B的平面角的正弦值．

解答 解：（1）以A₁为原点，A₁B₁为x轴，A₁C₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，2，0），B₁（1，0，0），B（1，0，1），A₁（0，0，0），
$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（1，-2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，1），
设直线PB₁与A₁B所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}|}{|\overrightarrow{P{B}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}B}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴直线PB₁与A₁B所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）D（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，1），
设平面A₁DB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
平面AA₁D的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角A-A₁D-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，sin$θ=\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴二面角A-A₁D-B的平面角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．