Question

12．下列叙述中，正确的个数是（　　）
①命题p：“?x∈[2，+∞），x²-2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈（-∞，2），x²-2＜0”；
②O是△ABC所在平面上一点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$，则O是△ABC的垂心；
③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；
④函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}}$）sin（${\frac{π}{6}-$2x）的最小正周期是π．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出命题p的否定形式可判断①，由已知条件得到OB⊥AC，同理可得O是△ABC三条高线的交点可判断②，由二倍角公式和正弦定理可判断③，直接求出函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}}$）sin（${\frac{π}{6}-$2x）的最小正周期可判断④．

解答 解：对于①，命题p：“?x∈[2，+∞），x²-2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈[2，+∞），x²-2＜0”，故①错误；
对于②，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，得到$\overrightarrow{OB}（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）=0$，又$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AC}$，得$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}=0$，可得OB⊥AC，因此，点O在AC边上的高BE上，同理可得：O点在BC边上的高AF和AB边上的高CD上，即点O是△ABC三条高线的交点，因此，点O是△ABC的垂心，故②正确；
对于③，在△ABC中，cos2A＞cos2B?1-2sin²A＞1-2sin²B?sin²A＜sin²B?sinA＜sinB?a＜b?A＜B，
∴“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故③正确；
对于④，y=sin（2x+$\frac{π}{3}}$）sin（${\frac{π}{6}-$2x）=$\frac{1}{2}sin（4x+\frac{2π}{3}）$，∴T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，故④错误．
∴正确的个数是：2．
故选：B．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充要条件及三角函数的性质，是中档题．