Question

19．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出，某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中a的值并估计样本的众数；
（2）该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民月用水量不超过ω吨的按2元/吨收费，超过ω吨不超过2ω吨的部分按4元/吨收费，超过2ω吨的部分按照10元/吨收费．
①用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨，ω至少定为多少？
②假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当ω=2时，估计该市居民该月的人均水费．

Answer 1

分析 （1）由频率和为1，求出a的值，根据众数的定义得出众数的值；
（2）①根据题意得出月用水量在[0，2.5]内的频率为0.75，从而得出ω的值；
②ω=2时，计算居民月用水量对应的该月人均水费即可．

解答 解：（1）由频率分布直方图可知每段内的频率是：
[0，0.5]：0.04；（0.5，1]：0.08；（1，1.5]：0.15；
 （1.5，2]：0.22； （2，2.5]：0.26； （2.5，3]：0.5a；
（3，3.5]：0.06；（3.5，4]：0.04； （4.4.5]：0.02；
则由0.04+0.08+0.15+0.22+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.26，…（2分）
众数为[2，2.5]的中点值2.25；…（4分）
（2）①由（1）可知月用水量在[0，2.5]内的频率为
0.04+0.08+0.15+0.22+0.26=0.75，
∴ω的值至少为1.25；…（6分）
②若ω=2，
当居民月用水量在[0，2]时，居民该月的人均水费为：
（0.04×0.5+0.08×1+0.15×1.5+0.22×2）×2=1.53；…（7分）
当居民月用水量在（2，2.5]时，居民该月的人均水费为：（2×2+0.5×4）×0.26=1.56，
当居民月用水量在（2.5，3]时，居民该月的人均水费为：（2×2+1×4）×0.13=1.04，
当居民月用水量在（3，3.5]时，居民该月的人均水费为：（2×2+1.5×4）×0.06=0.6，
当居民月用水量在（3.5，4]时，居民该月的人均水费为：（2×2+2×4）×0.04=0.48；…（9分）
当居民月用水量在（4，4.5]时，居民该月的人均水费为：（2×2+2×4+0.5×10）×0.02=0.34；…（10分）
∴居民月人均水费为1.53+1.56+1.04+0.6+0.48+0.34=5.55元．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．