Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，P（2，0）是它一个顶点，直线l：y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点A．B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；
（Ⅱ）若△PAB的面积为$\frac{\sqrt{10}}{3}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得a=2，$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．求出点P到直线l的距离d．利用△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意得a=2，$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得b=c=$\sqrt{2}$．
椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
焦点坐标为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂$（\sqrt{2}，0）$．
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}×2\sqrt{2（3{k}^{2}+2）}}{2{k}^{2}+1}$．
又∵点P到直线l的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{|k|\sqrt{6{k}^{2}+4}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．解得k=±1，
∴直线l的方程为：y=±（x-1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．