Question

如图，在直三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上．
（1）求证：BC⊥A₁B；
（2）若AD=

3

，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P-A₁B-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得A₁A⊥平面ABC，A₁A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A₁B．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A₁AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角P-A₁B-C的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴A₁A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴A₁A⊥BC，
∵AD⊥平面A₁BC，且BC?平面A₁BC，
∴AD⊥BC．又AA₁?平面A₁AB，AD?平面A₁AB，A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AB，
又A₁B?平面A₁BC，∴BC⊥A₁B．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A₁AB，AB?平面A₁AB，从而BC⊥AB，
如图，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz
∵AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上，
∴AD⊥A₁B．
在Rt△ABD中，AD=

3

，AB=2，
sin∠ABD=

AD

AB

=

3

2

，∠ABD=60°，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，A₁A⊥AB．
在Rt△ABA₁中，AA₁=AB•tan60°=2

3

，
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），
P（1，1，0），A₁（0，2，2

3

），

BP

=(1，1，0)，

BA1

=（0，2，2

3

），

BC

=(2，0，0)，
设平面PA₁B的一个法向量

n1

=(x，y，z)，
则

n 1 • BP =0 n1 • BA1 =0

，即

x+y=0 2y+2 3 z=0

，
得

n1

=(3，-3，

3

)，
设平面CA₁B的一个法向量

n2

=(x，y，z)，
则

n 2 • BC =0 n2 • BA1 =0

，即

x=0 2y+2 3 z=0

，
得

n2

=(0，-3，

3

)，cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2 7

7

，
∴二面角P-A₁B-C平面角的余弦值是

2 7

7

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．