Question

14．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，BP与⊙O交于C点，AP的中点为D．
（1）求证：四点O，A，D，C共圆；
（2）求证：AC•AP=PC•AB．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OD，证明∠BAD+∠OCD=180°，可得四点O，A，D，C共圆；
（2）利用△ABP～△CBA及切割线的定理可证明：AC•AP=PC•AB．

解答 证明：（1）连接OC，OD，
∵AB为⊙O的直径，可得∠BCA=90°，
在△ACP中，$CD=\frac{1}{2}AP=AD$，
∴∠DCA=∠DAC，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，可知∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DCA=90°，
即∠BAD+∠OCD=180°，
∴四点O，A，D，C是共圆的…（5分）
（2）∵△ABP～△CBA，∴$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{PB}⇒\frac{PB}{AP}=\frac{AB}{AC}$，
又因为PA为圆O的切线，由切割线的定理可知AP²=PC•PB，即$\frac{AP}{PC}=\frac{PB}{AP}$，
代入可得$\frac{AP}{PC}=\frac{AB}{AC}⇒AP•AC=AB•PC$…（10分）

点评 本题考查四点共圆的证明，考查△ABP～△CBA及切割线的定理的运用，属于中档题．