Question

9．已知A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}=0$，若直线AB与直线kx+y+2k=0距离的最大值是4，则p的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，代入抛物线方程，可得y²-2pmy-2pn=0，利用OA⊥OB，证明直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．利用直线AB与直线kx+y+2k=0距离的最大值是4，得出2p+2=4，即可求出p．

解答 解：OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n．
代入抛物线方程，可得y²-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
∴直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．
∵直线AB与直线kx+y+2k=0距离的最大值是4，直线kx+y+2k=0过点（-2，0）
∴直线AB与直线kx+y+2k=0距离的最大值是两定点间的距离，即2p+2=4，
∴p=1．
故选：A．

点评 本题考查抛物线方程，考查学生的计算能力，考查直线与抛物线的位置关系，比较基础．