Question

19．如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，两边平方后展开整理，即可求得${\overrightarrow{CD}}^{2}$，则CD的长可求．

解答 解：∵$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}={\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$，
∵$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AB}=0$，
$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{BD}|$cos120°=-$\frac{1}{2}$×1×2=-1．
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}=1+1+4$-2×1=4，
∴|$\overrightarrow{CD}$|=2，
故选：A．

点评 本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．