Question

已知函数f（x）=ax²-2x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）-4mx在区间[m，m+2]上有最小值-20？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分a=0和a函数是二次函数，再利用二次函数的性质解决对一切x∈R，都有f（x）≥0；根据f（1）=0得，
（2）g（x）=f（x）-4mx=x²-（4m+2）x+1，该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1，假设存在实数m使函数g（x）=f（x）-4mx=x²-（4m+2）x+1 在区间[m，m+2]上有最小值-20．根据函数的对称轴与区间的关系进行分类讨论，从而可求m的值．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=-2x+c．
由f（1）=0得-2+c=0，即c=2，
∴f（x）=-2x+2，
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，
∴a≠0，因而函数f（x）=ax²-2x+c是二次函数，
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，由二次函数的性质可得

a＞0 4-4ac≤0

，即

a＞0 ac≥1

，由此可知 a＞0，c＞0，
∴ac≤（

a+c

2

）²，
由f（1）=0，得a+c=2，代入上式得ac≤1．
但前面已推得ac≥1，
∴ac=1，
综上解得a=c=1，
∴f（x）的解析式为f（x）=x²-2x+1，
（2）由题意g（x）=f（x）-4mx=x²-2x+1-4mx=x²-（4m+2）x+1，
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1，
假设存在实数m使函数g（x）=f（x）-4mx=x²-（4m+2）x+1在区间[m，m+2]上有最小值-5．
①当m＜-1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，
∴g（m）=-20，
即m²-（4m+2）m+1=-20，化简得3m²+2m-21=0，
解得m=-3或m=

7

3

（与m＜-1矛盾，舍去），
②当-1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上递增，
∴g（2m+1）=-20，
即（2m+1）²-（4m+2）（2m+1）+1=-20，
解得m=

-1- 21

2

或m=

-1+ 21

2

，与-1≤m＜1矛盾，都舍去，
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，
∴g（m+2）=-20，
即（m+2）²-（4m+2）（m+2）+1=-20，
解得m=-1-2

2

（与m≥1矛盾，舍去）或m=-1+2

2

，
综上可得，当m=-3或m=-1+2

2

时，函数g（x）=f（x）-4mx在区间[m，m+2]上有最小值-20．

点评：本小题主要考查函数、方程、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析和解决问题的能力，本题考查的重点是函数的解析式的求解与函数最值的研究，解题的关键是合理运用函数的性质，正确分类，同时考查学生分析解决问题的能力，有一定的综合性．