Question

15．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=7，S₆=63，则数列{na_n}的前n项和为（　　）

• A． -3+（n+1）×2ⁿ
• B． 3+（n+1）×2ⁿ
• C． 1+（n+1）×2ⁿ
• D． 1+（n-1）×2ⁿ

Answer 1

分析 根据等比数列的求和公式，求出首项和公比，再根据错位相减数列{na_n}的前n项和．

解答 解：由题意可得，公比q≠1，∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=7，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=63，
相除可得 1+q³=9，∴q=2，∴a₁=1．
故 a_n=a₁q^n-1=2^n-1，
∴na_n=n2^n-1，
数列{na_n}的前n项和M_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1，
2M_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式相减可得，-M_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴M_n=（n-1）•2ⁿ+1
故选：D

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式，以及错位相减求数列的和的应用，考查了计算能力．