Question

5．在平面直角坐标系，将曲线C₁上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，得到曲线C₂，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）求曲线C₂的参数方程；
（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l₁与l₂分别交曲线C₂于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l₁的普通方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲线C₂的普通方程，即可求曲线C₂的参数方程；
（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4$\sqrt{5}$sin（α+θ），cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，由此，可求直线l₁的普通方程．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x²+y²=4，将曲线C₁上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，得到曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∴曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）；
（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4$\sqrt{5}$sin（α+θ），cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
α+θ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）时，l取得最大值，此时cosα=sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，A（$\frac{4}{\sqrt{5}}$，$\frac{1}{\sqrt{5}}$），
∴直线l₁的普通方程为y=$\frac{1}{4}$x．

点评 本题考查求直线l₁的普通方程，考查参数方程的运用，属于中档题．