Question

7．已知焦距为2$\sqrt{3}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁、上顶点为D，直线DF₁与椭圆C的另一个交点为H，且|DF₁|=7|F₁H|．求椭圆的方程．

Answer 1

分析 设|DF₁|=7|F₁H|=7m．D，F₁到准线的距离为$\frac{7m}{e}$，$\frac{m}{e}$．利用直线的斜率，即可求出椭圆的方程．

解答 解：设|DF₁|=7|F₁H|=7m．D，F₁到准线的距离为$\frac{7m}{e}$，$\frac{m}{e}$．
设直线DF₁的倾斜角为α，则cosα=$\frac{3}{4e}$．
∵tanα=$\frac{b}{c}$，∴cosα=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4e}$，
∵c=$\sqrt{3}$，∴a=2．∴b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的定义，属于中档题．