Question

6．已知函数f（x）=e^x（lnx+x^-1）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）试比较f（x）与1的大小．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）由f（1）=e＞1，可猜想f（x）＞1．理由如下：f（x）＞1即为e^x（lnx+x^-1）＞1，即为xlnx+1＞$\frac{x}{{e}^{x}}$，令g（x）=xlnx+1，h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，分别求出g（x）和h（x）的导数和单调区间、极值和最值，即可得到结论．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x（lnx+x^-1）的导数为f′（x）=e^x（lnx+$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$），
可得f（x）在x=1处的切线的斜率为e，切点为（1，e），
可得切线方程为y-e=e（x-1），即为y=ex；
（2）由f（1）=e＞1，可猜想f（x）＞1．
理由如下：f（x）＞1即为e^x（lnx+x^-1）＞1，即为xlnx+1＞$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=xlnx+1，h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
g′（x）=1+lnx，g（x）在x＞$\frac{1}{e}$处导数大于0，g（x）递增；在0＜x＜$\frac{1}{e}$处导数小于0，g（x）递减．
g（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，且为最小值1-$\frac{1}{e}$；
h′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，h（x）在x＜1处导数大于0，h（x）递增；在x＞1处导数小于0，h（x）递减．
h（x）在x=1处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$．
则g（x）_min＞h（x）_max，
即有g（x）＞f（x）恒成立，即f（x）＞1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查等价转化思想，以及运算化简能力，属于中档题．