Question

10．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克），如表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	70	81

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及方差．

Answer 1

分析 （1）利用分层抽样的性质能求出乙厂生产的产品总数．
（2）样品中优等品的频率为$\frac{2}{5}$，由此能求出乙厂生产的优等品的数量．
（3）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及方差．

解答 解：（1）乙厂生产的产品总数为：
5÷$\frac{14}{98}$=35．
（2）样品中优等品的频率为$\frac{2}{5}$，
乙厂生产的优等品的数量为35×$\frac{2}{5}$=14．
（3）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

Eξ=1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$．
Dξ=（0-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{3}{10}$+（1-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{3}{5}$+（2-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{25}$．

点评 本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和方差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、考查整体思想、转化化归思想，是中档题．