Question

已知F₁，F₂是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足＋＝0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上任一动点N(x₀，y₀)关于直线y＝2x的对称点为N₁(x₁，y₁)，求3x₁－4y₁的取值范围．

Answer 1

（1）＋＝1    （2）[－10,10]

(1)点P(－，1)在椭圆上，
∴＋＝1．①
又∵＋＝0，M在y轴上，
∴M为PF₂的中点，
∴－＋c＝0，c＝．
∴a²－b²＝2，②
联立①②，解得b²＝2(b²＝－1舍去)，
∴a²＝4．
故所求椭圆C的方程为＋＝1．
(2)∵点N(x₀，y₀)关于直线y＝2x的对称点为N₁(x₁，y₁)，
∴
解得
∴3x₁－4y₁＝－5x₀．
∵点N(x₀，y₀)在椭圆C：＋＝1上，
∴－2≤x₀≤2，
∴－10≤－5x₀≤10，
即3x₁－4y₁的取值范围为[－10,10]．