Question

9．已知函数f（x）=a+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$（a∈R）是奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）满足g（x+2）=-g（x）且x∈（0，2]时，g（x）=f（x），求g（-5）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的定义域，由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），化简整理可得a的值；
（Ⅱ）将x换为x+2，可得g（x+4）=g（x），即g（x）是周期为4的函数，将g（-5）变形为-g（1），计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）∵2^x-1≠0，解得：x≠0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．     
由$f（-x）=a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}$，$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
因为函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
∴$a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}=-（a+\frac{2}{{{2^x}-1}}）$，
即2a=$\frac{2•{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$-$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
即2a=2，解得a=1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知$f（x）=1+\frac{2}{{{2^x}-1}}$．
∵g（x+2）=-g（x），
g（x+4）=g[（x+2）+2]=-g（x+2）=g（x），
∴g（x）是周期为4的函数．
∴$g（{-5}）=g（3）=g（{1+2}）=-g（1）=-f（1）=-（{1+\frac{2}{2-1}}）=-3$．

点评 本题考查函数的性质及应用，主要考查奇函数的定义和周期函数的定义及运用，考查运算能力，属于中档题．