面对环境污染党和政府高度重视.各级环保部门制定了严格措施治理污染.同时宣传部门加大保护环境的宣传力度.因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识.为此某市在八里湖新区建立了公共自行车服务系统.市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡.初次办卡时卡内预先赠送20分.当诚信积分为0时.借车卡自动锁� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．面对环境污染党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此某市在八里湖新区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；
④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；
⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4，0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.3，0.3；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是0.2，0.1．
（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

分析（1）由题设，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A₁，A₂，A₃，它们彼此互斥；分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B₁，B₂，B₃，它们也彼此互斥．记甲、乙两人所付租车费相同为事件M，则M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，由此可求事件M的概率．
（2）据题意ξ的可能取值为：0，1，2，3，4 其中ξ=0表示甲乙的付车费均为0元，即事件A₁B₁ 发生；ξ=1表示甲乙共付1元车费，即甲付1元乙付0元或甲付0元乙付1元，即事件A₁B₂+A₂B₁；ξ=2表示甲乙共付2元车费，即甲付1元乙付1元或甲付0元乙付2元或甲付2元乙付0元，即事件A₂B₂+A₁B₃+A₃B₁；ξ=3表示甲乙共付3元车费，即甲付1元乙付2元或甲付2元乙付1元，即事件A₂B₃+A₃B₂；ξ=4表示甲乙共付4元车费，即甲付2元乙付2元，即事件A₃B₃．由此可求出随机变量ξ的分布列，并由公式求出Eξ．

解答解：（1）根据题意，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A₁，A₂，A₃，它们彼此互斥，
且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.4，∴P（A₃）=1-0.4-0.5=0.1，
分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B₁，B₂，B₃，它们彼此互斥，
且P（B₁）=0.5，P（B₂）=0.3，∴P（B₃）=1-0.5-0.3=0.2．
由题知，事件A₁，A₂，A₃与事件B₁，B₂，B₃相互独立，
记甲、乙两人所付租车费相同为事件M，则M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
所以P（M）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）
=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.2+0.15+0.02=0.37；6分
（2）据题意ξ的可能取值为：0，1，2，3，4，7分
P（ξ=0）=P（A₁）P（B₁）=0.2，
P（ξ=1）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，
P（ξ=2）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28，
P（ξ=3）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，
P（ξ=4）=P（A₃）P（B₃）=0.1×0.2=0.02，
所以ξ的分布列为：