Question

19．已知一次函数f（x）满足f（1）=2，f（2）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数g（x）=-1+lg[f（x）]²在区间[0，9]上的零点的个数．

Answer 1

分析 （1）f（x）为一次函数，从而可设f（x）=ax+b，从而根据f（1）=2，f（2）=3即可建立关于a，b的方程组，并可解出a=b=1，从而得出f（x）=x+1；
（2）先求出g（x）=-1+2lg（x+1），容易判断g（x）在[0，9]上单调递增，并容易得出g（0）＜0，g（9）＞0，从而便知g（x）在[0，9]只有一个零点．

解答 解：（1）设f（x）=ax+b；
∴由f（1）=2，f（2）=3得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{2a+b=3}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$；
∴f（x）=x+1；
（2）g（x）=-1+2lg（x+1）；
该函数在[0，9]上单调递增；
g（0）=-1＜0，g（9）=1＞0；
∴x∈[0，9]时，g（x）和x轴有一个交点；
∴g（x）在区间[0，9]上零点的个数为1．

点评 考查一次函数的一般形式，待定系数求函数解析式的方法，对数函数的单调性，函数沿x轴和y轴方向上的平移变换，函数零点的概念及判断零点个数的方法．