Question

14．已知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（Ⅱ）若f（x）≤m对定义域内的任意x都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的单调性的定义证明即可；（Ⅱ）根据函数的单调区间，求出函数的最值，从而求出函数f（x）的值域，进而求出m的范围．

解答 （Ⅰ）f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，
证明如下：
证明：设x₁＜x₂，
则：f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$
=$\frac{{x}_{1}{{（x}_{2}}^{2}+1）{-x}_{2}{{（x}_{1}}^{2}+1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$
=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
①当x₁•x₂＜1，即x₁，x₂∈（-1，1）时：
f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），是增函数，
②当x₁•x₂＞1，即x₁，x₂∈（-∞，-1）或（1，+∞）时：
f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），是减函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_最小值=f（-1）=-$\frac{1}{2}$，f（x）_最大值=f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴|f（x）|≤$\frac{1}{2}$，
∴m≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性的证明问题，考查函数的单调性的应用求函数的最值问题，是一道中档题．