Question

11．已知{a_n}是等比数列，如果$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=2，且a₃，a₅，a₆成等差数列，则a₁=1+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意可得数列的公比q满足0＜|q|＜1，可得$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=2，2a₁q⁴=a₁q²+a₁q⁵，两式联立可解．

解答 解：由题意可得数列的公比q满足0＜|q|＜1，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=2，①
又a₃，a₅，a₆成等差数列，
∴2a₅=a₃+a₆，即2a₁q⁴=a₁q²+a₁q⁵，②
由②可得q³-2q²+1=0，即q³-q²-q²+1=0，
分解因式可得q²（q-1）-（q+1）（q-1）=0，
即（q-1）（q²-q-1）=0，
结合q的范围可解得q=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
代入①可得a₁=1+$\sqrt{5}$
故答案为：1+$\sqrt{5}$

点评 本题考查无穷递缩等比数列的所有项和，涉及因式分解求特殊三次方程的根，属中档题．