题目内容
如图在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是线段BC上的两点，且DE=| 1 |
| 3 |
| AD |
| AE |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：设
=
，
=
，
=λ
，0≤λ≤
．利用平面向量基本定理表示出
，
．根据数量积的运算得到
•
=8λ2-
λ+
=8(λ-
)2+
．利用二次函数的性质即可求出
•
的取值范围．
| AB |
| a |
| AC |
| b |
| BD |
| BC |
| 2 |
| 3 |
| AD |
| AE |
| AD |
| AE |
| 16 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
| AD |
| AE |
解答：
解：设
=
，
=
，
=λ
，0≤λ≤
．
则
=
+λ(
-
)．
∵DE=
BC，
∴
=(λ+
)
．
∴
=
+(λ+
)(
-
)．
∴
•
=(
+λ(
-
))•(
+(λ+
)(
-
))
=((1-λ)
+λ
)((
-λ)
+(λ+
)
)
∵
⊥
，且|
|=|
|=2，
∴上式可化简为
•
=8λ2-
λ+
=8(λ-
)2+
．
∴当λ=
时，
•
取最小值为
．
当λ=0或
时，
•
取最大值为
．
∴
•
的取值范围是[
，
]．
故答案为：[
，
]．
| AB |
| a |
| AC |
| b |
| BD |
| BC |
| 2 |
| 3 |
则
| AD |
| a |
| b |
| a |
∵DE=
| 1 |
| 3 |
∴
| BE |
| 1 |
| 3 |
| BC |
∴
| AE |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| a |
∴
| AD |
| AE |
| a |
| b |
| a |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| a |
=((1-λ)
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
∵
| a |
| b |
| a |
| b |
∴上式可化简为
| AD |
| AE |
| 16 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
=8(λ-
| 1 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
∴当λ=
| 1 |
| 3 |
| AD |
| AE |
| 16 |
| 9 |
当λ=0或
| 2 |
| 3 |
| AD |
| AE |
| 8 |
| 3 |
∴
| AD |
| AE |
| 16 |
| 9 |
| 8 |
| 3 |
故答案为：[
| 16 |
| 9 |
| 8 |
| 3 |
点评：本题考查平面向量基本定理，向量的数量积以及二次函数的性质等知识的综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
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